SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2023 DAN ALTERNATIF PENYELESAIANNYA (TINGKAT KOTA/KABUPATEN PART B)

Perhatikan kedua persamaan berikut.

dan

Jika p + q + r = 0, maka nilai A² - 4B adalah ....

(Pilihan Ganda)

A. 6

B. 8

C. 12

D. 14

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan soal, p + q + r = 0, sehingga

(p + q + r)² = 0

⇔ (p + q + r)(p + q + r) = 0

⇔ p(p + q + r) + q(p + q + r) + r(p + q + r) = 0

⇔ p² + pq + pr + pq + q² + qr + pr + qr + r² = 0

⇔ p² + q² + r² + pq + pq + qr + qr + pr + pr = 0

⇔ p² + q² + r² + 2pq + 2qr + 2pr = 0

⇔ p² + q² + r² + 2(pq + qr + pr) = 0

⇔ p² + q² + r² + 2(pq + qr + pr) - 2(pq + qr + pr) = 0 - 2(pq + qr + pr)

⇔ p² + q² + r² = -2(pq + qr + pr)

⇔ (p² + q² + r²)² = (-2(pq + qr + pr))²

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(pq + qr + pr)²

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(pq + qr + pr)(pq + qr + pr)

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(pq(pq + qr + pr + qr(pq + qr + pr + pr(pq + qr + pr))

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + pq²r + p²qr + pq²r + q²r² + pqr² + p²qr + pqr² + p²r²)

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + q²r² + p²r² + p²qr + p²qr + pq²r + pq²r + pqr² + pqr²)

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + q²r² + p²r² + 2p²qr + 2pq²r + 2pqr²)

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + q²r² + p²r² + 2pqr(p + q + r))

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + q²r² + p²r² + 2pqr(0))

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + q²r² + p²r² + 0)

⇔ (p² + q² + r²)² = 4(p²q² + q²r² + p²r²)

Dengan demikian,

⇔ A = 4

Berdasarkan soal,

p + q + r = 0

⇔ p + q - q + r = 0 - q

⇔ p + r = -q

Dengan demikian,

⇔ p² + q² + r² = -2(pq + qr + pr)

⇔ p² + q² + r² = -2pq - 2qr - 2pr

⇔ p² + q² + r² = -2q(p + r) - 2pr

⇔ p² + q² + r² = -2q(-q) - 2pr

⇔ p² + q² + r² = 2q² - 2pr

⇔ p² + q² + r² = 2(q² - pr)

Sehingga,

Nilai A² - 4B adalah

A² - 4B

= 16 - 2

= 14

Jadi, nilai A² - 4B adalah 14.

(Pilihan jawaban D benar).